Означення похідної. Геометричний, фізичний та економічний зміст похідної

Конспект відкритого уроку алгебри та початків аналізу в 11 класі

Тема  “Означення похідної. Геометричний, фізичний та

економічний зміст похідної”

Мета:

  • узагальнити знання учнів з теми «Похідна, її геометричний, фізичний та економічний зміст»; закріпити знання учнів з теми; показати практичне застосування здобутих знань в алгебрі, геометрії, фізиці, економіці;
  • розвивати логічне мислення, обчислювальні навички, культуру математичної мови, вміння аналізувати, узагальнювати, конкретизувати, робити висновки;
  • виховувати цілеспрямованість, уважність, вміння працювати в колективі, бути стійким перед труднощами, створювати ситуацію успіху для формування позитивного ставлення до себе «я можу, у мене все вийде».

 Тип уроку:  узагальнення  знань, вмінь та навичок.

Форми та методи роботи: метод «мікрофону», самостійна робота, робота в парах, робота в групах, взаємоперевірка.

Обладнання:  мультимедійна презентація, картки з індивідуальними завданнями, картки для роботи в групах.

ХІД УРОКУ:

І. Організаційний момент.

Епіграфом до нашого уроку я  підібрала вислів Конфуція                                            « Від того настрою, з яким ви вступаєте в день, або                                                 в якусь справу залежать ваші успіхи, а можливо, і невдачі».

Я бажаю вам розпочати урок  з  гарним  настроєм  і отримати  від нього задоволення  і гарні результати.

 Вона на вигляд недолуга:

Штришок маленький, та й усе,

Але яку значну потугу

Цей ледь помітний знак несе!

Це символ моря знань високих,

Який не має меж і дна.

Не ступите не раз ні кроку

Без терміну, що зветься « похідна ».

Слайд

Повідомлення теми, мети уроку.

Кожен з учнів на протязі уроку отримає оцінку, яка буде складатися із отриманих балів за правильні відповіді під час роботи на уроці.

У кожного учня на парті лежать стіки трьох кольорів: зелений – «Я все знаю та розумію», жовтий – «Мені дещо незрозуміло», червоний – «Мені важко зрозуміти цю тему»

Визначте рівень своїх знань на початку уроку.

Слайд

ІІ. Узагальнення  знань. (метод мікрофону)

  1. Що називається похідною функції? (Похідною функції у = f(х) у точці х0 називають границю відношення приросту функції в точці х0 до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля).
  2. Сформулювати означення диференційованої функції в точці.(Функцію f(х), що має похідну в точці х0, називають диференційованою в цій точці)
  3. Сформулювати означення диференційованої функції на проміжку.(Якщо функція f(х) має похідну в кожній точці деякого проміжку,  то ця функція  диференційована на  цьому проміжку)
  4. Яка пряма називається дотичною до кривої? (Дотичною до кривої в даній точці називають граничне положення січної)
  5. У чому полягає геометричний зміст похідної? (Значення похідної в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної).
  6. Який механічний (фізичний) зміст похідної? (Похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції)
  7. Який економічний зміст похідної? (Похідна є швидкість зміни деякого економічного процесу за часом)
  8. Формула похідної суми?
  9. Формула похідної добутку?
  10. Формула похідної частки?

ІІІ. Актуалізація опорних знань. Перевірка домашнього завдання.

  1. Знайдіть похідну функцій: (усно) Слайд

За кожну правильну відповідь на полях учні ставлять «+»

розробка уроку

Слайд

  1. Встановіть відповідність між функціями та значеннями похідних цих функцій в деяких точках: (Учні працюють самостійно)

 

І варіант                                                                    ІІ варіант

  1. f(x) = 2x3 – 5; f ‘(- 1) =   Ю    7            1. f(x) = 2х2 + х;   f ‘(1) =      Д        2
  1. f(x) = 4 cos x + 5; f ‘( ) = І – 11           2. f(x) = cos 3x;  f ‘( ) =      І       – 4
  2. f(x) =(x²+3)√x; f ‘(1) =   Я       0         3. f(x) =  x²-4√x ;  f ‘(4) =  А       0,5
  1. f(x) = tg x;     f ‘(π/x ) =     С    2           4. f(x) = ctg x;         f ‘( π/x) =   Х         7
  1. f(x) = sin 2x;  f ‘(π) =     Ф    6              5. f(x) =(3x-x²)√x ;   f ‘(1) =     П         5
  1. f(x) = (x+3)/(2x-5); f ‘(2) = К 4/3                                                                                                                                                          6. f(x) =(2-x)/(5+3x); f ‘(- 2) =  О  -1,5
  1. f(x) = cos2 x + 3; f ‘(π/2 ) = Л – 4                                                                                                                                                          7. f(x) =sin2 x – 3;f ‘(π/12 ) =  Н – 11

Взаємоперевірка

Слайд Відповіді: І варіант – ФЛЮКСІЯ, ІІ варіант – ПОХІДНА.

У цей час три учні біля дошки виконують завдання, які були задані додому:

  1. (2012) Функція f(x) в точці х0 = 5 має похідну f ‘(5) = – 1. Обчисліть значення похідної функції  g(x) = f(x)∙x в точці х0, якщо  f (5) = 3. (2 бали)
  2. (2012) Функція f(x) має в точці х0 похідну  f ‘(х0) = – 4. Визначте значення похідної функції  g(x) = 2∙ f(x) + 7x – 3 в точці х0. (2 бали)
  3. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) = 0,3х2 + 2х -7, яка паралельна прямій у = 0,8х – 5.  (2 бали)

ІV. Історична довідка. (презентація)

Слайд Ряд задач диференціального числення був вирішений ще в стародавні часи. Основне поняття диференціального числення – поняття похідної – виникло в XVII ст. у зв’язку з необхідністю вирішення ряду задач з фізики, механіки і математики, у першу чергу наступних двох: визначення швидкості прямолінійного нерівномірного руху і побудови дотичної до плоскої кривої.

Перша з цих задач була уперше вирішена Ньютоном. Функцію він називав флюентою, тобто поточною величиною (від латинського fluere – текти), похідну ж – флюксіей (від того ж fluere). Ньютон позначав функції останніми літерами латинського алфавіту u, x, y, z, а їх флюксії, тобто похідні від флюент за часом, – відповідно тими ж літерами з крапкою над ними.

Слайд Для доказу свого правила Ньютон, випливаючи в основному з теореми Ферма, розглядає нескінченно малий приріст часу dt, що він позначав знаком х0, відмінним від нуля. Вираз х0,  що позначається нині і називається диференціалом (dx), Ньютон називав моментом.      Ньютон прийшов до поняття похідної, виходячи з питань механіки. Свої результати в цій області він виклав у трактаті, названому ним «Метод флюксій і нескінченних рядів», що був складений близько 1671 р. Припускають, що Ньютон відкрив свій метод флюксій ще в середині 60-х років XVII ст., однак вищезгаданий його трактат був опублікований посмертно лише в 1736 р.

    Слайд Із самого початку XVII ст. чимало вчених, у тому числі Торрічеллі, Вівіані, Роберваль, Барроу, намагалися знайти вирішення питання, прибігаючи до кінематичних міркувань. Перший загальний спосіб побудови дотичної до алгебраїчної кривої був викладений у «Геометрії» Декарта. Більш загального і важливим для розвитку диференціального вирахування був метод побудови дотичних Ферма.      Ґрунтуючись на результатах Ферма і деяких інших висновках, Лейбниц значно повніше своїх попередників вирішив задачу, про яку йде мова, створивши відповідний алгоритм. У нього задача знаходження tg φ , тобто кутового коефіцієнта дотичної в точці М, до плоскої кривої, обумовленою функцією y=ƒ(x) , зводиться до знаходження похідної функції y по незалежній змінній x при даному її значенні (або в даній точці).

 Можна навести й інші приклади, що доводять, яку велику роль грає поняття похідної в науці і техніці: прискорення – є похідна від швидкості за часом, теплоємність тіла – є похідна від кількості тепла по температурі, швидкість радіоактивного розпаду – є похідна від маси радіоактивної речовини за часом, продуктивність праці є похідною від обсягу виробленої продукції за часом. Вивчення властивостей і способів обчислення похідних і їхнє застосування до дослідження функцій складає головний предмет диференціального числення.     Перша друкована праця по диференціальному числення була опублікована Лейбницем у 1684 р.

V. Розв’язування задач.

 (Робота в парах) Уміння працювати самостійно є дуже важливим і в навчанні, і в житті. Але, крім того, для досягнення успіху в житті потрібно мати друзів, партнерів. Тому під час виконання наступної роботи дозволяється здійснювати взаємодопомогу.

Слайд На рисунку зображено графік функції y = f(x) та дотичні до нього в точках х1 та х2. Користуючись геометричним змістом похідної, знайти f‘(x1)+f‘(x2)

розробка уроку

Робота в групах

Розв’язування задач  (кожна група отримує диференційовані завдання):

І група – задачі на використання фізичного змісту похідної;

ІІ група – задачі на використання геометричного змісту похідної;

ІІІ група –задачі на використання економічного змісту похідної .

І група

  1. (2009) Матеріальна точка рухається за законом s(t) = 2t2 + 3t, де s вимірюється в метрах, а t – у секундах. Знайдіть значення t (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює 76м/с. (1 бал)
  2. (2008) Тіло рухається за законом s(t) =2/3 t3 – 2t2 + 4t, (час t вимірюється у секундах, шлях s – у  метрах). Визначте його швидкість (у м/с) через 2 секунди після початку руху. (2 бали)
  3. (2008) Тіло рухається за законом s(t) =2/3t3 – 2t2 + 4t, (час t вимірюється у секундах, шлях s – у  метрах). Визначте прискорення його руху в момент t = 10 с. (2 бали)
  4. (2008) Тіло рухається за законом s(t) =2/3t3 – 2t2 + 4t, (час t вимірюється  у секундах, шлях s – у  метрах). Визначте прискорення  його руху в момент t = 2 с. (2 бали)
  5. Тіло масою 5 кг рухається за законом s(t) =2/3t3 – 2t2 + 4t, (час t вимірюється у секундах, шлях s – у  метрах). Знайдіть силу, що діє на нього, у момент часу t = 2 с. (3 бали)

ІІ група

  1. Знайдіть кут нахилу дотичної до графіка функції f(x) = (x+2/)(x-1)у точці з абсцисою х0 = 2. (1 бал)
  2. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) = (x+2/)(x-1) в точці з абсцисою х0 = 2. (2 бали)
  3. Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції f(x) = (x+2/)(x-1) в точці з абсцисою   х0 = 2. (3 бали)

ІІІ група

  1. Фірма монополізувала виробництво дитячих велосипедів. Скільки велосипедів буде продано і за якою ціною, якщо TR = 1000Q – 10Q2, ТС = 100Q + 5 Q2? (3 бали)
  2. Виробляючи мікрохвильові печі, конкурентний виробник має такі функції загальних доходів та загальних витрат TR = 250Q – 1,5Q2, ТС = Q2 + 1400 – 10Q, де Q – кількість мікрохвильових печей. 1) Яка кількість мікрохвильових печей зробить максимальним прибуток фірми? 2) Яка ціна відповідає цій кількості? (3 бали)

Представник кожної групи біля дошки захищає розв’язок задачі, яку він виконував у групі.

VІ. Підведення підсумків. Домашнє завдання.

На стіку, який відповідає вашому настрою на даному етапі напишіть, будь ласка, відповіді на питання:

Слайд На уроці я…

– дізнався…

– зрозумів…

– навчився…

– найбільший мій успіх – це…

– найбільші труднощі я відчув…

– я не вмів, а тепер умію…

– я змінив своє ставлення до…

– на наступному уроці я хочу…

Учні зачитують свої відповіді.

Слайд Закінчити наш урок мені хотілося б словами Спінози: «Якщо ви хочете, щоб життя посміхалося вам, подаруйте йому спочатку свій гарний настрій»

Дякую вам за урок. Бажаю всім успіхів і гарного настрою.

 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *