Подільність чисел. Підготовка до олімпіади

Розв’язування задач на подільність передбачає застосування  ознаки подільності ( матеріал на сайті за посиланням: «Ознаки подільності на 2,3,5,9,10», «Ознаки подільності на 4,7,11,13» ), та властивості подільності чисел, сформульовані далі.1. Кожен множник розкладу деякого числа є дільником цього числа.

Розглянемо задачу. Знайти дільники числа n=2•3•5•7.

Розв’язання. Множники 2, 3, 5, 7 є дільниками числа n.

Цей добуток можна записати іншими способами: n=6•5•7=3•10•7=3•5•14=…. Множники 6, 10, 14 також є дільниками числа n.

Це означає, що всі добутки, які можна утворити з простих множників 2, 3, 5, 7, також являються дільниками числа n.

Отже, дільники числа n є 2, 3, 5, 7, 2•3=6, 2•5=10, 2•7=14, 3•5=15, 3•7=21, 5•7=35, 2•3•5=30, 2•3•7=42, 2•5•7=70, 3•5•7=105, 2•3•5•7=210.

2. Якщо один з множників ділиться на деяке число, то й добуток ділиться на це число.

 Наприклад. Добуток чисел 16•81 буде ділитися на 8, на 27 , на 9 тощо. Оскільки 16 ділиться на 8, 81 ділиться на 27, 9 тощо…

 3. Якщо один множник ділиться на х, а другий множник ділиться на число у, то добуток ділиться на ху.

Задача. Не перемножуючи, встановіть чи ділиться добуток 148•75 на 2, на5, на 10.

Розв’язання.

Оскільки 148 ділиться на 2, то добуток ділиться на 2.

Оскільки 75 ділиться на 5, то добуток ділиться на 5.

Оскільки 148 ділиться на 2, а 75 ділиться на 5, то 148•75 ділиться на 2•5=10.
Задача. Доведіть, що натуральні числа, записані трьома однаковими цифрами, діляться на 37.

Розв’язання. Всі трицифрові числа з однаковими цифрами можна подати у виді 111•n, де n – довільне натуральне число.

Оскільки 111 ділиться на 37, то й 111•n ділиться  на 37.

Задача. Скількома нулями закінчується число, яке дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до 32.

Розв’язання. Якщо розкласти всі множники цього добутку на прості числа, то в утвореному добутку буде 7 п’ятірок, а двійок більше. Кожен добуток п’ятірки і двійки дає нуль в кінці добутку, отже число закінчується сімома нулями.

 4. Якщо натуральне число n ділиться на число m, то воно ділиться і на дільники числа m.

Задача. До числа 55 зліва і справа приписати по одній цифрі, щоб одержане число ділилося на 18. Знайти ці числа.

Розв’язання. 18 ділиться на 2 і на 9, тому й шукане число ділиться на 9 і на 2. Справа можна дописати парні цифри 0, 2, 4, 6 або 8; тоді зліва можна дописати відповідно 18-(5+5+0)=8, 18-(5+5+2)=6, 18-(5+5+4)=4, 18-(5+5+6)=2 або 18-(5+5+8)=0. Останній випадок не задовольняє умову задачі, оскільки тоді число стає трицифровим. Отже, 8550, 6552, 4554, 2556 – шукані числа.

Задачі для самостійного розв’язання

1. До числа 47 зліва і справа дописати по одній цифрі, щоб одержане число ділилося на 12.

2.  Знайти усі дільники числа 225.

3. Серед чисел виду 3n+2 знайти три числа, які діляться на 5.

4. Сума двох чисел 221, а їх найменше спільне кратне дорівнює 612. Знайти ці числа.

Під  підготовці публікації виокристані матеріали сайту

“У класі”.

Розв’язання задач, запропонованих до самостійного опрацювання

  1. До числа 47 зліва і справа дописати по одній цифрі, щоб одержане число ділилося на 12.

Оскільки 12 ділиться на 4 і 3, то шукане число *47* також ділиться на 4 і на 3. За ознакою подільності на 4 остання цифра може дорівнювати 2 або 6 тому що 72 ділиться на 4 і 76 ділиться на 4. Так як шукане число ділиться на 3, то сума його цифр ділиться на 3. Якщо остання цифра числа дорівнює 2, то першою може бути 15-(4+7+2)=2, 18-(4+7+2)=5 або 21-(4+7+2)=8; якщо остання цифра дорівнює 6, то першою може бути 18-(4+7+6)=1, 21-(4+7+6)=4 або 24-(4+7+6)=7.

Відповідь: 2742, 5742, 8742, 1746, 4746, 7746.

  1. Знайти усі дільники числа 225.

Розкладемо число 225 на прості множники: 32·52. Дільниками числа 225 являються всі можливі добутки, складені з множників розкладу: 3, 5, 32=9, 52=25, 3·5=15,  32·5=45, 3·52=75, 32·52=225.

Відповідь: 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225.

  1. Серед чисел виду 3n+2 знайти три числа, які діляться на 5.

Числа, які діляться на 5, закінчуються цифрою 5 або цифрою 0. Отже, число 3n має закінчуватися цифрою 3 або 8. Так як тільки 3*1 закінчується трійкою і 3*6 закінчується вісімкою, то на останньому місці в числі n може стояти цифра 1 або цифра 6. Це числа 1, 6, 11, 16, 21, 26 і так далі.

Таким чином обчислимо перші три числа виду 3n+2, які діляться на 5:   3·1+2=5, 3·6+2=20, 3·11+2=35.

  1. Сума двох чисел 221, а їх найменше спільне кратне дорівнює 612. Знайти ці числа.

Оскільки 612 є найменшим спільним кратним шуканих чисел, то вони являються дільниками цього числа, причому вони менші від 221. Знайдемо числа, що відповідають названим умовам: 1, 2, 3, 204, 4, 153, 6, 102, 9, 68, 12, 51, 17, 36, 18, 34. Із рівностей 221-204=17, 221-153=68, випливає, що є дві пари дільників, сума яких дорівнює 221: 68 і 153, 17 і 204.

Але НСК(17, 204)=204, НСК(68, 153)=612. Відповідь: 68 153.

 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *