Відомий нам уже ряд чисел можна задати рекурентною формулою:
Fn-2+ F n-1=F n , F 0=0, F1= 1,
До вашої уваги четверта сторінка проекту “Математика й кролики”
це означає, що у послідовності чисел задані перші два члени, кожен наступний, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх.
Гаразд, спитаєте ви, а яким чином ця послідовність чисел відноситься до спіралі?
Дуже просто! Дивіться. Беремо два квадратика, потім складаємо їх разом, а до їх краю прикладаємо квадрат с довжиною дві одиниці. Далі – квадрат із довжиною три одиниці, п’ять , вісім тощо. А тепер сполучаємо центри цих квадратів! Отримуємо саме спіраль Фібоначчі, яку ми зустрічали у равлику, соняшнику, галактиці!
Цей малюнок ілюструє головну властивість ряду, яку ми назвали рекурентною формулою. Слід відзначити, що такий метод побудови залежності у програмуванні називається рекурсією.
Розглянемо ще одну модель.
На цьому малюнку представлені степені двочленів, як ви бачите коефіцієнти є симетричними, та підкоряються певній залежності. Задаються вони формулою, яку придумав відомий фізик та математик Ньютон. Так і зветься – біном Ньютона. Але зараз ми не будемо вас лякати складними комбінаторними викладками, бо й самі не розуміємо поки що їх.
Є більш проста можливість розрахунку таких коефіцієнтів, що зветься трикутник Паскаля. По краях кожного ряду стоять одинички, а внутрішні утворюємо додаванням тих, що стоять праворуч та ліворуч над ними. Щось нагадує наших кроликів.
При чому тут числа Фібоначчі? Дивіться! Саме ці числа ми отримуємо по діагоналях трикутника Паскаля, що описує коефіцієнти степенів двочлена!
Якщо подивитися на числа у послідовності, то можна помітити, що їх відношення буде прямувати до певного числа 1,618, що зветься фи. Серед митців епохи відродження воно характеризувало так званий «Золотий переріз», який популярний у мистецтві й зараз. Наприклад, на вокзалі у Цюриху зображено модель цього ряду!
Ви зараз здивуєтесь, але комплекс пірамід у Єгипті розміщений саме по такій спіралі.
А число фи є основним у пропорціях піраміди, що створили давні майя у Мексиці!
Коли точно були побудовані ці піраміди правильно не може сказати ніхто – тисячі років тому! Але й у ті найдавніші часи, люди користувалися дивною пропорцією.
Не менш цікавим виявилося й те, що числа Фібоначчі й той самий золотий переріз із успіхом використовуються у сучасній торгівлі.
Найбільш популярною серед бізнесменів, що займаються торгівлею на відомій міжнародній біржі Форекс, є книга Роберта Фішера. Вона розповідає про технічний аналіз статистичних даних на основі чисел Фібоначчі. Хочеш бути багатим, вмій рахувати!
Отже сучасним бізнесменам доводиться брати уроки математики у давніх мудреців!
Так виглядає зображення стану ринку у певний момент часу, бачите, як змінюються ціни. А так – фрагмент технічного аналізу по рівням Фібоначчі. Цікаво?
Можливо, коли ми станемо трохи розумнішими, зможемо торгувати так, щоби отримувати самі прибутки! Ми ж знаємо таємниці!
Й це ще не все! Цю залежність можна знайти у найнесподіваніших речах, починаючи від будови тіла людини й закінчуючи розміщенням планет у сонячній системі.
Але люди його досліджують тисячі років, й розповісти усе неможливо!
Хоча деякі факти, ми все ж таки вам сьогодні подаруємо!
Виявляється, що число фи задає чудову мелодію, як і відоме нам число Пи.