У попередній публікації ми познайомили вас з принципом Діріхле, та навели приклади застосування такого принципу при розвя’зуванні задач. У цій публікації пропонуємо добірку завдань Всеукраїнської літьної математичної школи “Мудра макітра” з цієї теми. Спробуйте самостійно розв’язати. Відповіді та короткі пояснення будуть опубліковані у вересні.
Спочатку повторимо принцип Діріхле за допомогою такої моделі:
У нас є n+1 свинка , й n калюж. Якщо посадити усіх свинок у калюжі, то знайдеться одна калюжа, мінімум із двома свинками.
Доведіть наступні твердження:
- Якщо взяти три довільних числа цілих, то серед них найдеться принаймні 2 (2 й більше) однакової парності (або два парних, або два непарних).
- Якщо взяти 15 шестикласників, то принаймні у двох з них день народження буде в один місяць.
- Якщо у молодшій школі 366 учнів, то принаймні у двох з них день народження в один день.
Узагальнений принцип Діріхле
У N калюжах сидить k свинок. Тоді знайдеться калюжа, в якій сидить не менше (більше, чи рівно) k/N свинок, й знайдеться калюжа, у якій сидить не більше (менше, чи рівно) ніж k/N свинок.
Задача 1. До магазину привезли 25 ящиків із яблуками трьох сортів, причому у кожному ящику лежать яблука якогось одного сорту. Чи можна знайти 9 ящиків з яблуками одного сорту?
Задача 2. В школі 30 класів й 1000 учнів. Доведіть, що знайдеться клас, в якому:
а) не менше 34 учнів;
б) не більше 33 учнів.
Задача 3. У людини на голові не більше 500000 волосин, а у Києві більше за 2 мільйони людей. Доведіть, що знайдуться 4 киянина з однаковою кількістю волосин.
Задача 4. В ящику лежать 100 прапорців: червоних, зелених, жовтих, синіх. Яку найменшу кількість прапорців потрібно взяти, не дивлячись, щоб серед них знайшлося не менше 10 однокольорових?
Далі буде=)
Попередня публікація: Клітки для кроликів – принци Діріхле