Якщо провести висоту СД з вершини прямокутного трикутника до гіпотенузи, отримаємо подібні трикутники АВС, АСД, СВД. Враховуючи пропорційність сторін подібних трикутників, отримаємо середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику, а саме: СД² = АД*ДВ; АС² = АД*АВ, ВС² = ВД*АВ.

При цьому нагадаємо, що відрізки АД та ВД – проекції катетів АС та ВС на гіпотенузу АВ відповідно.

Маємо наступну теорему:

a, b – катети, c – гіпотенуза, h_c – висота, проведена на гіпотенузу, a_c – проекція катета а на гіпотенузу, b_c – проекція катета в на гіпотенузу.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

Розглянемо приклади розв’язування задач, де застосовуються середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

Задача 1.

Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки завдовжки 9 см, 16 см. Знайти катети трикутника.

Розв’язання. Відповідно до умови задачі: АД=9см, ВД=16 см. Знайдемо гіпотенузу, та врахуємо, що катет – є середнє пропорційне між гіпотенузою та проекцією цього катета на гіпотенузу:

АВ= 25 см, АС² =АД*АВ, АС² =9*25, АС= 15 см, ВС² =16*25, ВС=20 см.

Відповідь: 15 см, 20 см

Задача 2.

З точки кола Д на діаметр АС проведено перпендикуляр ВД, який поділяє діаметр на відрізки 4см та 9 см. Обчисліть відстань від точки Д до діаметра.

Розв’язання. Оскільки точка Д належить колу, а відрізок АС є діаметром, то кут АДС – прямий як вписаний, що спирається на діаметр. Отже ВД – висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута на гіпотенузу., АВ та ВС – проекції катетів на гіпотенузу. Можемо скористатися середніми пропрційними відрізками у прямокутному трикутнику:

ДВ² = ВА*ВС, тоді ДВ²= 4*9, ДВ= 6 см

Відповідь: 6 см

Задача 3

Перпендикуляр, опущений із точки перетину діагоналей ромба на його сторону, дорівнює 2 см і ділить цю сторону на відрізки, які відносяться як 1: 4. Знайдіть діагоналі ромба.

Розв’язання.

Врахуємо, що діагоналі ромба перпендикулярні, отже перпендикуляр ОК проведений до сторони АВ буде висотою прямокутного трикутника АОВ, проведеною до гіпотенузи АВ, яку ділить на відрізки ВК:АК=1: 4.

Нехай к – коефіцієнт пропорційності, тоді ВК=к см, а АК= к см. За наведеною вище теоремою маємо: ОК² = ВК*АК, тоді 4к*к= 4, к=1, отже ВК= 1 см, АК= 4 см, АВ= 5 см.

ВО² = КВ*АВ, ВО² = 1*5, ВО= \/5 , ВД= 2 \/5 см.

Відповідно: АО² = АК*АВ, АО² = 4*5, АО = 2 \/5 см, АС= 4 \/5 см.

Відповідь: 2 \/5 см, 4 \/5 см

Перевірити засвоєння матеріалу можна, виконавши

тест “Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику”