Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику

Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику

Якщо провести висоту СД з вершини прямокутного трикутника до гіпотенузи, отримаємо подібні трикутники АВС, АСД, СВД. Враховуючи пропорційність сторін подібних трикутників, отримаємо середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику, а саме: СД2 = АД*ДВ; АС2 = АД*АВ, ВС2 = ВД*АВ.

При цьому нагадаємо, що відрізки АД та ВД – проекції катетів АС та ВС на гіпотенузу АВ відповідно.

Маємо наступну теорему:

a, b – катети, c – гіпотенуза, hc – висота, проведена на гіпотенузу, ac – проекція катета а на гіпотенузу, bc – проекція катета в на гіпотенузу.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

Розглянемо приклади розв’язування задач, де застосовуються середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

Задача 1.

Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки завдовжки 9 см, 16 см. Знайти катети трикутника.

Задача 1

Розв’язання. Відповідно до умови задачі: АД=9см, ВД=16 см. Знайдемо гіпотенузу, та врахуємо, що катет – є середнє пропорційне між гіпотенузою та проекцією цього катета на гіпотенузу:

АВ= 25 см, АС2 =АД*АВ, АС2 =9*25, АС= 15 см, ВС2 =16*25, ВС=20 см.

Відповідь: 15 см, 20 см

Задача 2.

З точки кола Д на діаметр АС проведено перпендикуляр ВД, який поділяє діаметр на відрізки 4см та 9 см. Обчисліть відстань від точки Д до діаметра.

Задача 2.

Розв’язання. Оскільки точка Д належить колу, а відрізок АС є діаметром, то кут АДС – прямий як вписаний, що спирається на діаметр. Отже ВД – висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута на гіпотенузу., АВ та ВС – проекції катетів на гіпотенузу. Можемо скористатися середніми пропрційними відрізками у прямокутному трикутнику:

ДВ2 = ВА*ВС, тоді ДВ2= 4*9, ДВ= 6 см

Відповідь: 6 см

Задача 3

Перпендикуляр, опущений із точки перетину діагоналей ромба на його сторону, дорівнює 2 см і ділить цю сторону на відрізки, які відносяться як 1: 4. Знайдіть діагоналі ромба.

Задача 3. Ромб

Розв’язання.

Врахуємо, що діагоналі ромба перпендикулярні, отже перпендикуляр ОК проведений до сторони АВ буде висотою прямокутного трикутника АОВ, проведеною до гіпотенузи АВ, яку ділить на відрізки ВК:АК=1: 4.

Нехай к – коефіцієнт пропорційності, тоді ВК=к см, а АК= к см. За наведеною вище теоремою маємо: ОК2 = ВК*АК, тоді 4к*к= 4, к=1, отже ВК= 1 см, АК= 4 см, АВ= 5 см.

ВО2 = КВ*АВ, ВО2 = 1*5, ВО= \/5 , ВД= 2 \/5 см.

Відповідно: АО2 = АК*АВ, АО2 = 4*5, АО = 2 \/5 см, АС= 4 \/5 см.

Відповідь: 2 \/5 см, 4 \/5 см

Перевірити засвоєння матеріалу можна, виконавши

тест “Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику”

Один коментар до “Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику”

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Цей сайт використовує Akismet для зменшення спаму. Дізнайтеся, як обробляються ваші дані коментарів.