Теорема Фалеса про три точки на колі нам в школі подається у дещо іншій інтерпретації, а саме, властивістю вершин вписаного у коло прямокутного трикутника. І ми, за звичкою, теорему Фалеса згадуємо лише у разі роботи із пропорційними відрізками на сторонах кута, що відтинаються паралельними прямими.

Отже зараз ми розглянемо таке поняття, як коло Фалеса через Теорему Фалеса про три точки на колі, що стверджує:

“Якщо точки А,В,С є точками на колі, де відрізок АС є діаметром кола, то кут АВС є прямим”

В такому разі коло, описане навколо прямокутного трикутника , називають колом Фалеса.

Доведення

Доведемо цю теорему, скориставшися двома фактами: сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів ( або двом прямим кутам); кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

Нехай точка O є центром кола. Оскільки OA = OB = OC як радіуси, OAB і OBC є рівнобедреними трикутниками з основами АВ та АС відповідно. Отже ВАО = АВО, ОВС = ОСВ як кути при основах рівнобедрених трикутників ОАВ та ОВС відповідно. Нехай γ = BAO і δ = OBC.

Оскільки сума кутів трикутника рівна двом прямим кутам, отримаємо 2γ + γ ′ = 180°, 2δ + δ ′ = 180°.

Також відомо, що γ ′ + δ ′ = 180°, бо ці кути суміжні.

Додавши перші два рівняння та віднявши третє, отримаємо:

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°;

2(γ + δ) = 180°;

γ + δ = 90°.

Що і треба було довести.

Обернена теорема також буде правильна

Якщо для даного прямокутного трикутника побудувати коло, так, що його гіпотенуза буде діаметром кола, то коло буде описаним навколо трикутника.

Варто відмітити, що пряма й обернена теорема можуть бути сформульовані таким чином:

Центр описаного навколо трикутника кола лежить на одній із його сторін тоді і тільки тоді, коли трикутник є прямокутним.

Така властивість вписаного у коло прямокутного трикутника має цілу низку важливих наслідків, деякі з них:

кут, вписаний у коло, що спирається на діаметр – прямий;

медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи;

центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника лежить на гіпотенузі та є його серединою.

Спробуємо дати правильні відповіді на тест, складений Ші з цієї теми, а у наступній публікації розглянемо декілька практичних задач на застосування цих теорем і властивостей.