Властивість медіани трикутника є однією з основних властивостей трикутника, може бути доведена за допомогою Теореми Фалеса, векторів, тощо. Рекомендовано для учнв 8 класу та вище.

Медіаною трикутника називається відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

На рисунку відрізки АК, СМ, ВД – медіани, вони перетинаються у точці О.

Теорема

Усі три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2:1, рахуючи від вершини.

На рисунку : АО:ОК=2:1, СО:ОМ=2:1, ВО: ОД = 2:1

Задача 1

АК – медіана трикутника, О – точка перетину медіан. Обчисліть довжину відрізка ОА, якщо ОК=4см

Розв’язання

Оскільки АО:ОК=2: 1, то АО:4=2:1, АО= 4*2:1=8.(см)

ВІдповідь: 8 см

Задача 2

СМ – медіана трикутника, О – точка перетину медіан. ОМ=6 см. Обчисліть СМ.

Розв’язання

СО:ОМ=2:1, отже СМ: ОМ=3:1, тоді СМ=3ОМ, СМ=18 см

Відповідь: 8 см

Задача 3

У рівнобедреному трикутнику АВС (АВ=ВС) точка М – точка перетину медіан, яка віддалена від основи на 4 см. АК = 9 см. Обчисліть периметр трикутника.

Розв’язання

Трикутник АВС – рівнобедрений, АВ=СВ, отже медіана ВК – є висотою і бісектрисою. МК=4 см, ВМ:МК=2:1 за властиістю медіани триктуника, тоді ВМ= 8 см, ВК=12 см. АС= 2АК=18 см.

У прямокутному трикутнику ВАК <ВКА=90 градусів, за теоремою Піфагора АВ^2=BK^2 + AK^2 , АВ=15 см. Р= 15*2+18=48 (см)

Відповідь: 48 см

Властивість медіани трикутника застосується в різних задачах, які можуть бути запропоновані на ЗНО та НМТ.

ВІдповідні тести будуть наведені у публікації:

“Тестування з теми: Теорема Фалеса”